Soluzione di equazioni differenziali separabili

Equazioni differenziali diventano più difficili da risolvere il più invischiato diventano. In alcuni casi, tuttavia, un'equazione che sembra tutto aggrovigliato in realtà è facile da prendere in giro a parte. Equazioni di questo tipo si chiamano equazioni separabili (o equazioni autonome), e si inseriscono nel seguente modulo:

Soluzione di equazioni differenziali separabili

Equazioni separabili sono relativamente facili da risolvere. Ad esempio, si supponga di voler risolvere il seguente problema:

Soluzione di equazioni differenziali separabili

Si può pensare al simbolo

Soluzione di equazioni differenziali separabili

come frazione e isolare xey termini di questa equazione su lati opposti del segno di uguale:

e y dy = sin x dx

Ora integrare entrambe le parti:

Soluzione di equazioni differenziali separabili

In un senso importante, il passaggio precedente è discutibile perché la variabile di integrazione è diverso su ogni lato del segno uguale. Si può pensare "Non c'è problema, è tutto integrazione!" Ma immaginate se si è tentato di dividere un lato di un'equazione da 2 e l'altro da 3, e poi rise fuori con "E 'tutto divisione!" Chiaramente, avresti un problema. La buona notizia, tuttavia, è che integrando entrambi i lati da diverse variabili effettivamente produce la risposta corretta.

C 1 e C 2 sono entrambi costanti, in modo da poter utilizzare l'equazione C = C 2 - C 1 a semplificare l'equazione:

e y = x + -cos C

Quindi, utilizzare un registro naturale per annullare l'esponente, e quindi semplificare:

ln e y = ln (x -COS + C)

y = ln (x -COS + C)

Per verificare questa soluzione, sostituire questo valore per y in entrambi i lati dell'equazione originale:

Soluzione di equazioni differenziali separabili