Esprimere e funzioni approssimare Utilizzo della serie di Taylor

Eâ € s importante capire la differenza tra e xpressing una funzione come una serie infinita e un pproximating una funzione utilizzando un numero finito di termini di serie. Si può pensare a una serie di potenze come un polinomio di infiniti termini (Taylor polinomiali).

Ogni serie di Taylor fornisce il valore esatto di una funzione per tutti i valori di x dove quella serie converge. Cioè, per ogni valore di x sul suo intervallo di convergenza, una serie di Taylor converge a f (x).

La serie di Taylor Hereâ € s in tutto il suo splendore:

Esprimere e funzioni approssimare Utilizzo della serie di Taylor

In pratica, però, l'aggiunta di un numero infinito di termini semplicemente ISNA € t possibile. Tuttavia, si può approssimare il valore di f (x) aggiungendo un numero finito dalla serie di Taylor appropriata.

Un'espressione ricavato da un numero finito di termini di una serie di Taylor è chiamato un polinomio di Taylor, T n (x). Come altri polinomi, un polinomio di Taylor è identificato dal suo grado. Ad esempio, Hereâ € s il quinto grado polinomio di Taylor, T 5 (x), che si avvicina e x:

Esprimere e funzioni approssimare Utilizzo della serie di Taylor

In generale, un più alto grado risultati polinomiali in una migliore approssimazione. Per il valore di e x quando x è vicino a 100, si ottiene una buona stima utilizzando un polinomio di Taylor per l'e x con = 100:

Esprimere e funzioni approssimare Utilizzo della serie di Taylor

Per riassumere, ricordare quanto segue:

  • Una serie convergente Taylor esprime il valore esatto di una funzione.
  • Un polinomio Taylor, T n (x), da una serie convergente approssima il valore di una funzione.