Differential Equations Cheat Sheet

La classificazione più comune di equazioni differenziali si basa su ordinazione. L'ordine di un'equazione differenziale è semplicemente l'ordine della sua profonda derivata. Si può avere di primo, secondo, e di ordine superiore equazioni differenziali.

Prima - equazioni differenziali ordine coinvolgono derivati ​​del primo ordine, come in questo esempio:

Secondo - equazioni differenziali ordine coinvolgono derivati ​​del secondo ordine, come in questi esempi:

Higher - equazioni differenziali di ordine sono i derivati ​​che coinvolgono più alto del secondo ordine (grande sorpresa su quel nome intelligente!). Equazioni differenziali di tutti gli ordini possono utilizzare la notazione y ', in questo modo:

Distinguere tra lineare, separabile, e equazioni differenziali esatti

È possibile distinguere tra le equazioni differenziali lineari, separabili, ed esatte se si sa cosa cercare. Tenere presente che potrebbe essere necessario rimescolare un'equazione per identificarlo.

Equazioni differenziali lineari coinvolgono solo derivati ​​di y e termini di y al primo potere, non hanno sollevato a qualsiasi potere superiore. (Nota: Questo è il potere il derivato viene elevato, non l'ordine della derivata). Per esempio, questo è un'equazione differenziale lineare perché contiene solo derivati ​​sollevate alla prima potenza:

S equazioni differenziali eparable possono essere scritti in modo che tutti i termini in x e tutti i termini in y appaiono su lati opposti della equazione. Ecco un esempio:

che può essere scritto così, con un po 'di rimescolamento:

Equazioni differenziali esatti sono quelli in cui si può trovare una funzione il cui derivate parziali corrispondono ai termini in un determinato equazione differenziale.

Definizione Equazioni differenziali omogenei e non omogenei

Al fine di individuare una equazione differenziale non omogenea, è necessario prima di sapere che cosa una equazione differenziale omogenea assomiglia. È spesso necessario risolvere una prima di poter risolvere l'altra.

Equazioni differenziali omogenee coinvolgono solo derivati ​​di y e termini che coinvolgono y, e sono impostati a 0, come in questa equazione:

Equazioni differenziali non omogenea sono le stesse equazioni differenziali omogenee, tranne che possono avere termini che coinvolgono solo x (costanti) e sul lato destro, come in questa equazione:

È inoltre possibile scrivere equazioni differenziali non omogenei in questo formato: y '' + p (x) y '+ q (x) y = g (x). La soluzione generale di questa equazione differenziale non omogenea è

In questa soluzione, c ₁ y ₁ (x) + c ₂ y ₂ (x) è la soluzione generale del corrispondente equazione differenziale omogenea:

E y _p (x) è una soluzione specifica per l'equazione non omogenea.

Utilizzando il metodo di Indeterminato coefficienti

Se hai bisogno di trovare soluzioni particolari di equazioni differenziali non omogenei, allora si può iniziare con il metodo dei coefficienti indeterminati. Supponiamo che si faccia la seguente equazione differenziale non omogenea:

Il metodo dei coefficienti indeterminati osserva che quando si trova una soluzione candidato, y, e collegarlo alla parte sinistra dell'equazione, si finisce con g (x). Perché g (x) è solo una funzione di x, spesso è possibile intuire la forma di y _p (x), fino a coefficienti arbitrari, e quindi risolvere per tali coefficienti collegando y (x) _p nella equazione differenziale.

Questo metodo funziona perché hai a che fare solo con g (x), e la forma di g (x) può spesso dirvi che una particolare soluzione assomiglia.