Come risolvere i sistemi lineari

Quando si risolve sistemi con due variabili e quindi due equazioni, le equazioni possono essere lineare o non lineare. Sistemi lineari sono generalmente espresse in forma Ax + By = C, dove A, B, e C sono numeri reali.

Quando la risoluzione di sistemi lineari, ci sono due metodi a vostra disposizione, e che uno si sceglie dipende dal problema:

  • Se il coefficiente di qualsiasi variabile è 1, il che significa che si può facilmente risolvere per essa in termini di altre variabili, quindi la sostituzione è una buona scommessa. Se si utilizza questo metodo, allora non importa come ogni equazione è impostato.
  • Se tutti i coefficienti sono altro che 1, quindi è possibile utilizzare l'eliminazione, ma solo se le equazioni possono essere aggiunti insieme per fare una delle variabili scompaiono. Tuttavia, se si utilizza questo metodo, assicurarsi che tutte le variabili e la linea di segno uguale con l'un l'altro prima di aggiungere le equazioni insieme.

Con il metodo di sostituzione

Nel metodo di sostituzione, si utilizza uno equazione da risolvere per una variabile e quindi sostituire l'espressione nell'altra equazione per calcolare l'altra variabile. Cercare una variabile con un coefficiente di 1 ... è così che saprete da dove cominciare. Se il coefficiente di una variabile è 1, allora questo è la variabile si dovrebbe risolvere per risolvere perché per tale variabile esclusivamente comporterà aggiungendo o sottraendo termini per spostare tutto verso l'altro lato del segno uguale. In questo modo, non dovrà dividere per il coefficiente quando si risolvere, il che significa che non avrete alcun frazioni.

Ad esempio, si supponga di gestione di un teatro, e avete bisogno di sapere come molti adulti e bambini sono presenti in una mostra. L'auditorium è esaurito e contiene una miscela di adulti e bambini. I biglietti costano $ 23.00 per gli adulti e $ 15,00 per bambino. Se l'auditorium dispone di 250 posti a sedere e il fatturato totale del biglietto per l'evento è di $ 4,846.00, quanti adulti e bambini sono presenti?

Per risolvere il problema con il metodo della sostituzione, attenersi alla seguente procedura:

  1. Esprimere il problema parola come un sistema di equazioni.

    È possibile utilizzare le informazioni fornite nella parola problema di istituire due equazioni differenti. Si vuole risolvere per quanti biglietti per adulti (a) e biglietti per bambini (c) hai venduto. Se l'auditorium dispone di 250 posti a sedere ed è stato venduto fuori, la somma dei biglietti per adulti e biglietti minore deve essere 250.

    I prezzi dei biglietti si portano anche alle entrate (o denaro fatto) dalla manifestazione. I tempi di prezzi del biglietto per adulti il ​​numero di adulti presenti consente di sapere quanti soldi hai fatto dagli adulti. Si può fare lo stesso calcolo con i biglietti del bambino. La somma di questi due calcoli deve essere il fatturato totale del biglietto per l'evento.

    Ecco come si scrive questo sistema di equazioni:

    Come risolvere i sistemi lineari

  2. Risolvere per una delle variabili.

    Scegli la variabile con un coefficiente di 1, se è possibile, perché la risoluzione di questa variabile sarà facile. Per questo esempio, è possibile scegliere di risolvere per una nella prima equazione. Per fare questo, sottrarre c da entrambi i lati: a = 250 - c.

    È sempre possibile spostare le cose da una parte di un'equazione all'altra, ma non cadere preda della trappola che 250 - c è 249 c, come alcune persone fanno. Quelli non sono come i termini, quindi non si possono unire.

  3. Sostituire la variabile risolto nell'altra equazione.

    In questo esempio, a risolvere una nella prima equazione. Prendete questo valore (250 - c) e sostituirlo nell'altra equazione per una. (Assicurarsi di non sostituire nell'equazione utilizzato al passaggio 1, altrimenti andrete nei circoli.)

    La seconda equazione ora dice 23 (250 - c) + 15 c = 4.846.

  4. Risolvere per la variabile sconosciuta.

    Quando si distribuisce il numero 23, si ottiene 5.750 - 23 c + 15 c = 4.846. Quando semplificare questo, si ottiene 5.750 - 8 c = 4.846, o -8 c = -904. Così, c = 113. Un totale di 113 bambini hanno partecipato all'evento.
  5. Sostituire il valore della variabile sconosciuta in una delle equazioni originali per risolvere per l'altra variabile sconosciuta.

    Non è necessario sostituire in una delle equazioni originali, ma le risposte tendono ad essere più preciso se si fa.

    Quando si collega 113 nella prima equazione per c, si ottiene un + 113 = 250. Risolvere questa equazione, si ottiene a = 137. È venduto un totale di 137 biglietti per adulti.

  6. Controlla la tua soluzione.

    Quando si collega un e c nelle equazioni originali, si dovrebbe ottenere due affermazioni vere. Fa 137 + 113 = 250? Sì. Fa 23 (137) + 15 (113) = 4.846? Infatti.

Con il processo di eliminazione

Se la soluzione di un sistema di due equazioni con il metodo della sostituzione si rivela difficile o il sistema comporta frazioni, il metodo di eliminazione è la vostra opzione migliore. (Chi vuole trattare con le frazioni comunque?) Nel metodo di eliminazione, si fanno una delle variabili annullarsi con l'aggiunta di due equazioni.

A volte, si deve moltiplicare una o entrambe le equazioni di costanti, al fine di aggiungere le equazioni; tale situazione si verifica quando non è possibile eliminare una delle variabili semplicemente aggiungendo le due equazioni insieme. (Si ricorda che, al fine di una variabile da eliminare, i coefficienti di una variabile devono essere opposti.)

Ad esempio, i seguenti passaggi mostrano come risolvere il sistema

Come risolvere i sistemi lineari

utilizzando il processo di eliminazione:

  1. Riscrivere le equazioni, se necessario, per fare come variabili allineati uno sotto l'altro.

    L'ordine delle variabili non ha importanza; assicuratevi solo che come termini allineata con termini come da cima a fondo. Le equazioni in questo sistema sono le variabili x ed y allineati già:

    Come risolvere i sistemi lineari

  2. Moltiplicare le equazioni da costanti per fare una serie di coefficienti variabili partita.

    Decidere quale variabile che si desidera eliminare.

    Diciamo che si decide di eliminare le variabili x; in primo luogo, si deve trovare il loro minimo comune multiplo. Che numero do 20 e 1/3 sia andare in? La risposta è 60. Ma uno di loro deve essere negativo in modo che quando si aggiungono le equazioni, i termini si annullano (ecco perché si chiama eliminazione!). Moltiplicare l'equazione alto da -3 e l'equazione di fondo da 180. (Assicurarsi di distribuire questo numero per ogni termine - anche al di là del segno di uguale.) In questo modo si dà la seguente:

    Come risolvere i sistemi lineari

  3. Aggiungere le due equazioni.

    Si dispone ora di 72 y = 120.
  4. Risolvere per la variabile sconosciuta che rimane.

    Dividendo per 72 dà

    Come risolvere i sistemi lineari

  5. Sostituire il valore della variabile trovato in nessuna delle due equazioni.

    In questo esempio, si utilizza la prima equazione:

    Come risolvere i sistemi lineari

  6. Risolvere per la variabile sconosciuta finale.

    Si finisce con

    Come risolvere i sistemi lineari

  7. Controllare le soluzioni.

    Verificare sempre la risposta inserendo le soluzioni nel sistema originale.

    Come risolvere i sistemi lineari

    Funziona! Ora controllare l'altra equazione:

    Come risolvere i sistemi lineari

    Poiché entrambi i valori sono soluzioni a entrambe le equazioni, la soluzione del sistema è corretta.