Come approssimativo Area con la regola del trapezio

Con la regola del trapezio, invece di zona approssimare utilizzando rettangoli (come si fa con la sinistra, a destra, e metodi rettangolo punto medio), si superficie approssimativa con - si può indovinare? - trapezi.

A causa del modo trapezi abbracciano la curva, ti danno una stima un'area molto meglio di entrambi i rettangoli a destra oa sinistra. E si scopre che un'approssimazione trapezio è la media del rettangolo sinistro e destro approssimazioni rettangolo. Riuscite a capire perché? (Suggerimento: L'area di ogni trapezio è la media delle superfici dei due rettangoli corrispondenti nel somme rettangolo sinistro e destro.)

La figura seguente mostra tre trapezi disegnati sotto la funzione x 2 + 1.

Come approssimativo Area con la regola del trapezio

Dallo sguardo di questa figura, ci si potrebbe aspettare una approssimazione trapezoidale di essere meglio di una stima rettangolo di punto medio, ma in realtà, come regola generale, le somme punto medio è circa due volte più buono come stime trapezoidali.

Se hai già lavorato le approssimazioni rettangolo sinistro e destro per una particolare funzione e un certo numero di rettangoli, si può solo media di loro per ottenere il corrispondente stima trapezio (per questo problema, si conosce la risposta che si vuole ottenere è (8 + 17) / 2 = 12,5). Se no, ecco la formula:

La regola del trapezio:

Come approssimativo Area con la regola del trapezio

Per la funzione nella figura sopra con tre trapezi, ecco la matematica:

Come approssimativo Area con la regola del trapezio

Anche se la definizione formale di integrale definito è basato sulla somma di un numero infinito di rettangoli, si potrebbe desiderare di pensare di integrazione come il limite della regola trapezoidale all'infinito. Più si ingrandisce una curva, il dritto ottiene. Quando si utilizza un numero sempre maggiore di trapezi e poi zoomare su cui i trapezi toccano la curva, le cime dei trapezi diventano sempre più vicino alla curva. Se si ingrandisce "infinitamente", le cime dei "infiniti" trapezi diventano la curva e, quindi, la somma delle loro aree si dà l'esatta area sotto la curva. Questo è un buon modo per riflettere sul perché l'integrazione produce l'area esatta - e ha senso concettualmente - ma non è in realtà fatto in questo modo.