Che cosa è teoria degli insiemi?

Teoria degli insiemi costituisce la maggior parte della fondazione della matematica moderna, ed è stato formalizzato alla fine del 1800. Set teoria descrive alcune idee molto fondamentali e intuitive su come le cose chiamate "elementi" o "membri" si incastrano in gruppi. Nonostante l'apparente semplicità delle idee, teoria degli insiemi è molto rigoroso. Nel tentativo di eliminare tutte le arbitrarietà nelle loro teorie, i matematici hanno insiemistica messo a punto in misura impressionante nel corso degli anni.

In teoria degli insiemi un insieme è un gruppo ben definito di elementi o membri. Imposta di solito sono simboleggiati da lettere maiuscole in corsivo come A o B. Se due insiemi contengono gli stessi membri, possono essere visualizzati come equivalente con un segno di uguale.

Il contenuto di un insieme possono essere descritti in inglese semplice: A = i mammiferi terrestri tutto. I contenuti possono anche essere incluso tra parentesi: A = {orsi, mucche, maiali, ecc} per grandi insiemi, i puntini di sospensione possono essere impiegati, dove il modello del set è evidente. Ad esempio, A = {2, 4, 6, 8 ... 1000}. Un tipo di set ha zero utenti, la serie nota come l'insieme vuoto. Esso è simboleggiato da uno zero con una linea diagonale ascendente da sinistra a destra. Anche se apparentemente banale, che risulta essere molto importante matematicamente.

Alcuni set contengono altri set, superset quindi essere etichettati. I set di contenuti sono sottoinsiemi. In teoria degli insiemi, questo rapporto viene indicato come "inclusione" o "contenimento", simboleggiata da una notazione che assomiglia alla lettera U ruotato di 90 gradi verso destra. Graficamente, questo può essere rappresentato come un cerchio contenuta all'interno di un altro, più grande cerchio.

Alcuni set comuni in teoria degli insiemi includono N, l'insieme di tutti i numeri naturali; Z, l'insieme di tutti gli interi; Q, l'insieme di tutti i numeri razionali; R, l'insieme di tutti i numeri reali; e C, l'insieme di tutti i numeri complessi.

Quando due gruppi si sovrappongono ma non è completamente annegato dentro l'altro, il tutto si chiama unione di insiemi. Questo è rappresentato da un simbolo simile alla lettera U, ma leggermente più ampio. In notazione set, A U B significa "l'insieme degli elementi che sono membri di A o B". Girare questo simbolo a testa in giù, e si ottiene l'intersezione di A e B, che si riferisce a tutti gli elementi che sono membri di entrambi i gruppi. Nel set set teoria può anche essere "sottratti" gli uni dagli altri, con conseguente complementi. Per esempio, B - A è equivalente alla serie di elementi che sono membri di B ma non A.

Dalle basi di cui sopra, la maggior parte della matematica deriva. Quasi tutti i sistemi matematici contengono le proprietà che possono essere descritti fondamentalmente in termini di teoria degli insiemi.

  • Teoria degli insiemi costituisce la maggior parte della fondazione della matematica moderna, ed è stato formalizzato alla fine del 1800.