Calcolo Bounds errore per Taylor polinomi

Un polinomio Taylor approssima il valore di una funzione, e in molti casi, ita € s utile per misurare la precisione di una approssimazione. Queste informazioni vengono fornite con il termine restante Taylor:

f (x) = T n (x) + R n (x)

Si noti che l'aggiunta del termine residuo R n (x) trasforma il ravvicinamento in un'equazione. Hereâ € s la formula per il termine di resto:

Calcolo Bounds errore per Taylor polinomi

Eâ € s importante essere chiaro che questa equazione è vero per uno specifico valore di c on l'intervallo tra una e x. Non funziona per un qualsiasi valore di c su tale intervallo.

Idealmente, il termine residuo si dà la differenza precisa tra il valore di una funzione e il ravvicinamento T n (x). Tuttavia, poiché il valore di c è incerto, in pratica il termine rimanente fornisce davvero un scenario peggiore per il vostro approssimazione.

Il seguente esempio dovrebbe aiutare a rendere questa idea chiara, con il sesto grado polinomio di Taylor per cos x:

Calcolo Bounds errore per Taylor polinomi

Supponiamo che si utilizza questa polinomiale ravvicinare cos 1:

Calcolo Bounds errore per Taylor polinomi

Quanto è accurata questa approssimazione probabile che sia? Per scoprire, usare il termine resto:

cos 1 = T 6 (x) + R 6 (x)

Aggiungendo gli associati resto termine cambiamenti questa approssimazione in un'equazione. Hereâ € s la formula per il termine di resto:

Calcolo Bounds errore per Taylor polinomi

Quindi sostituendo 1 per x ti dà:

Calcolo Bounds errore per Taylor polinomi

A questo punto, youâ € re apparentemente bloccato, perché si dona € t sapere il valore del peccato c Tuttavia, è possibile collegare in c = 0 e c = 1 per dare una gamma di valori possibili.:

Calcolo Bounds errore per Taylor polinomi

Tenere presente che questa disuguaglianza si verifica a causa dell'intervallo coinvolti, e perché sine aumenta su tale intervallo. È possibile ottenere un diverso legato con un intervallo diverso.

Questo semplifica per fornire una stretta approssimazione:

Calcolo Bounds errore per Taylor polinomi

Così, il termine residuo prevede che il valore approssimativo calcolato in precedenza sarà all'interno 0,00017 del valore reale. E, infatti,

Calcolo Bounds errore per Taylor polinomi

Come potete vedere, l'approssimazione è entro i limiti di errore previsti dal termine di resto.